Analisi teorica di modelli matematici con singolarità per fenomeni di interazione
Numerosi fenomeni della realtà che ci circonda sono caratterizzati da sistemi complessi la cui evoluzione è determinata da molteplici interazioni, sia tra gli elementi che compongono il sistema sia tra il sistema stesso e l’ambiente esterno. In molti casi, la descrizione matematica di tali fenomeni si traduce in modelli differenziali il cui tratto comune è la presenza di singolarità. E’ questa una classe particolarmente ampia di problemi matematici, in cui il carattere singolare si può manifestare in modalità differenti e richiedere, quindi, lo sviluppo di tecniche e strumenti matematici specifici. Un certo interesse in questo senso si è concentrato sullo studio di modelli singolari per equazioni semilineari ellittiche, di cui l’equazione di Schroedinger nonlineare costituisce un esempio prototipico. Tali equazioni forniscono da decenni un solido modello efficace per fenomeni quali la condensazione di Bose-Einstein e recenti innovazioni tecnologiche ne hanno rapidamente motivato lo studio in contesti singolari. Da un lato, è interessante studiare l’esistenza ed il comportamento delle soluzioni di queste equazioni in presenza di potenziali singolari di tipo delta, utili alla descrizione della dinamica di condensati di Bose-Einstein in presenza di impurità o difetti del mezzo di propagazione. Dall’altro lato, ci si concentra sullo studio di equazioni non singolari definite su spazi ambiente singolari, come strutture localmente 1-dimensionali (e.g. grafi metrici) o strutture composte dall’incollamento di parti di dimensione differenti (e.g. ibridi).