Analisi nello spazio delle fasi e applicazioni alla meccanica quantistica
Diverse problematiche nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali, come quella della propagazione delle singolarità, suggeriscono un’analisi mediante la decomposizione di funzioni ed operatori in pacchetti d’onda elementari – detti atomi di Gabor in analisi tempo-frequenza o stati coerenti in meccanica quantistica – e lo studio dell’evoluzione di ciascun pacchetto (cf. propagazione del fronte d'onda Gabor). In questo paradigma gioca un ruolo fondamentale il principio di indeterminazione, che pone un limite alla massima risoluzione tempo-frequenza raggiungibile, e che si manifesta in numerose disuguaglianze funzionali, come ad es. quelle di Sobolev. Inoltre, esso rappresenta spesso anche la ragione profonda dell’esistenza di una soluzione (ad es. dello stato fondamentale di certe equazioni di Schroedinger lineari e nonlineari). E’ quindi interessante individuare, in vari contesti, le funzioni che sono maggiormente concentrate nello spazio delle fasi. Si tratta di problemi di ottimizzazione (anche di forma), di tipo isoperimetrico, in cui si intrecciano tecniche di teoria geometrica della misura, analisi armonica e complessa, analisi nonlineare e calcolo delle variazioni.