Geometria delle equazioni differenziali e sistemi integrabili

Lo studio dei sistemi integrabili (sia di dimensione finita che infinita) è fondamentale nell'analisi di vari problemi di geometria differenziale, come la caratterizzazione delle metriche con simmetrie proiettive, l'integrabilità del flusso geodetico, la classificazione delle equazioni di Monge-Ampère a meno di un gruppo di trasformazioni prefissato e l'analisi variazionale di particolari funzionali. Un approccio utile allo studio dei suddetti problemi consiste nell'interpretare un certo sistema di equazioni differenziali come una sottovarietà di un opportuno spazio dei momenti (spazio di getti o riduzione di uno spazio delle configurazioni), munito di un sistema differenziale esterno. Il prolungamento di tale sistema consente di trovare le sue conseguenze differenziali e permette sia lo studio dell'esistenza delle sottovarietà integrali che l'analisi delle simmetrie. Attraverso il metodo dei "moving frames" è possibile ridurre il problema di trovare una gerarchia di soluzioni (partendo da una conosciuta) a quello di risolvere un sistema di equazioni alle derivate parziali lineari. Ciò richiede la conoscenza e l'applicazione di tecniche di topologia, di analisi, di teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie nonchè strumenti di geometria algebrica e di algebra omologica.

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