EDP e analisi su varietà e gruppi di Lie

L'interazione tra l'analisi armonica e lo studio di equazioni alle derivate parziali e' risultata molto importante nell'analisi moderna e ha dato luogo a interessanti risultati. Un esempio in tal senso è costituito dal famoso teorema di restrizione della trasformata di Fourier ad un paraboloide o ad un cono, che può rileggersi come una stima (stima di Strichartz) per le soluzioni dell'equazione lineare di Schroedinger o delle onde. A loro volta tali stime hanno importanti conseguenze per l'esistenza locale e globale di soluzioni per le corrispondenti equazioni non-lineari. Questi problemi, ampiamente studiati sullo spazio euclideo, sono attualmente oggetto di studio anche in contesti diversi, quali spazi iperbolici, spazi simmetrici, varieta' Riemanniane e gruppi di Lie, contesti nei quali si studiano equazioni differenziali associate a opportuni Laplaciani e subLaplaciani legati alla geometria dello spazio in cui l'equazione e' definita.

Un altro campo di ricerca particolarmente attivo riguarda lo studio di operatori integrali singolari e operatori integrali di Fourier su varietà Riemanniane e subRiemanniane e gruppi di Lie non compatti. In particolare, rivestono primaria importanza le trasformate di Riesz, i moltiplicatori spettrali di Laplaciani e gli operatori integrali di Fourier legati allo studio dell'equazione delle onde. Le tecniche utilizzate in ambito euclideo non si applicano in tali contesti e si rende necessaria l'introduzione di nuovi spazi di funzioni, come ad esempio spazi di Hardy adattati alla geometria della varietà e del gruppo, per studiare le proprieta' di limitatezza dei suddetti operatori.

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