Teoria geometrica dei gruppi localmente compatti
La teoria geometrica dei gruppi studia i gruppi utilizzando strumenti geometrici, topologici e metrici. L’idea di base è considerare i gruppi non solo come oggetti algebrici, ma anche come oggetti geometrici, tramite le loro azioni su spazi, ad esempio i grafi di Cayley. Uno degli obiettivi principali è analizzare il legame tra la struttura algebrica del gruppo e la sua geometria, per rispondere a domande su problemi algoritmici (come il problema della parola), coomologia, e altro ancora. Un tema centrale è lo studio delle proprietà "a larga scala", cioè quelle invarianti sotto quasi-isometrie — come la crescita, l’accessibilità e le condizioni di finitezza. Tra i gruppi più studiati in questa branca ritroviamo i gruppi iperbolici, automatici e quelli che agiscono su alberi.
Negli ultimi decenni, questa teoria è stata estesa ai gruppi localmente compatti (cioè gruppi topologici di Hausdorff con intorni compatti dell’identità). In questo contesto, molti strumenti della teoria discreta non si applicano direttamente e servono tecniche più sofisticate. Questa estensione è importante perché permette di studiare numerosi gruppi che non sono discreti (ad esempio gruppi p-adici e gruppi di isometrie), e consente di esplorare nuovi fenomeni che non emergono nella teoria dei gruppi astratti.
Siamo principalmente interessati allo studio delle proprietà di finitezza omologica dei gruppi totalmente sconnessi e localmente compatti, un'importante area di ricerca emergente.