Geometria delle PDE

Una delle linee di ricerca si concentra su alcuni aspetti della geometria delle PDEs. Un problema classico è quello di classificare metriche che ammettono almeno una simmetria proiettiva, cioè un campo vettoriale il cui flusso locale preserva le curve 

geodetiche. Di tali metriche si può classificare sia la classe proiettiva, che è formata dalle metriche che ammettono le stesse curve geodetiche (tale classe può essere rappresentata da un particolare sistema di ODE), sia quella isometrica. Questo problema si inquadra in quello più generale di costruire e classificare PDEs aventi un dato gruppo di simmetria (trasformazioni che mandano soluzioni in soluzioni), che richiede lo studio degli invarianti del suddetto gruppo.

Un altro aspetto su cui si concentra la ricerca è lo studio dei sistemi integrabili di dimensione sia finita che infinita. Tale studio ha lo scopo di caratterizzare, nel caso di sistemi di dimensione infinita, quelli che siano integrabili in senso solitonico tramite lo studio delle cosiddette algebre fondamentali. Nel caso di sistemi integrabili di dimensione finita, l'obiettivo principale è lo studio dell'integrabilità del flusso geodetico, che è strettamente collegata anche all'esistenza delle suddette simmetrie proiettive in virtù del fatto che si può sempre costruire un integrale quadratico nei momenti partendo da una simmetria proiettiva.

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