Analisi Geometrica su varietà Riemanniane
L'analisi geometrica giace nell'intersezione della geometria differenziale, del calcolo delle variazioni, delle equazioni alle derivate parziali e della fisica matematica e sta avendo un profondo impatto su tutti questi campi. Negli ultimi decenni questo è stato un campo di ricerca in assoluta crescita, con risultati d’eccellenza, come la dimostrazione della congettura di Poincaré usando i flussi geometrici, o delle congetture classiche di Willmore e Lawson nel campo della geometria differenziale delle superfici.
Il flusso di Ricci deforma metriche Riemanniane su varietà tramite il loro tensore di Ricci, un'equazione che ha molte somiglianze con l'equazione del calore. Altri flussi geometrici, come il flusso per curvatura media di ipersuperfici, hanno proprietà di regolarizzazione simili. Lo scopo per molti flussi geometrici è produrre geometriche canoniche deformando dati iniziali generali in queste geometrie. A seconda del dato iniziale le soluzioni di questi flussi geometrici possono sviluppare singolarità, dove ad un certo tempo la soluzione non è più liscia. In molte circostanze l'analisi delle singolarità è modellata da soluzioni autosimilari. Questo conduce ad investigare risultati di classificazione e di rigidità per Ricci solitoni e per self-shrinkers e translators per il flusso per curvatura media di ipersuperfici. Lo studio di queste strutture conduce naturalmente a considerare varietà Riemanniane dotate di una misura assolutamente continua rispetto alla misura Riemanniana. Un ruolo fondamentale nell'indagine è rappresentato dal'interconnessione tra topologia, la geometria di spazi con densità e le proprietà analitiche dell'operatore di diffusione associato.