Sottovarietà nella geometria conforme Lorentziana e nella geometria di Cauchy-Riemann
La geometria conforme Lorentziana ha origine nei lavori di H.Weyl sulla relatività generale e in quelli di W. Blaschke e G. Thomsen sulle geometrie di Laguerre, Möbius e Lie. Negli anni ottanta del secolo scorso, la geometria conforme Lorentziana ha giocato un ruolo centrale nella formulazione twistoriale delle teorie gravitazionali, ad opera di Penrose e Rindler e, in anni più recenti, nei modelli cosmologici ciclici e nella regolarizzazione del problema di Keplero. Inoltre, la fibrazione di Fefferman permette di collegare il mondo della geometria conforme Lorentziana con quello della geometria di Cauchy-Riemann.
Siamo interessati allo studio di flussi geometrici integrabili, a problemi variazionali e al problema della deformazione di sottovarietà di bassa dimensione nel contesto della geometria conforme Lorentziana e della geometria CR.
Utilizzando il metodo del riferimento mobile e la teoria delle azioni dei gruppi di Lie, si possono analizzare gli invariati differenziali locali e costruire appropriate riduzioni dei fibrati adattati a una sottovarietà. Gli invarianti e le riduzioni consentono di riformulare i problemi geometrici all’interno della teoria dei sistemi differenziali esterni in involuzione e, in ultima istanza, nel contesto dei sistemi Hamiltoniani. Ciò permette di individuare famiglie di soluzioni esplicite la cui determinazione fa entrare in gioco la teoria delle funzioni speciali. La ricerca di soluzioni chiuse all’interno di una data famiglia in molti casi dipende dalla razionalità dei periodi di opportuni differenziali Abeliani su cicli reali di curve ellittiche o iper-ellittiche. Quest’ultimo problema richiede l’uso di tecniche analitiche e algebrico-geometriche.
Nello specifico, le nostre ricerche si focalizzano sulla geometria delle sottovarietà critiche di funzionali geometrici che generalizzano nel contesto Lorentziano e di Cauchy-Riemann i classici funzionali di Liebmann e Blaschke-Willmore (con o senza vincoli). In parallelo, verrà considerato il problema della deformazione di superficie di tipo tempo in uno spazio conforme neutro quadridimensionale. Saranno anche studiate le interconnessioni di quest’ultimo problema con la geometria delle superfici sia in ambito conforme-Lorentziano sia in ambito proiettivo.