Analisi su varietà e gruppi di Lie
È di interesse lo studio di Laplaciani e subLaplaciani su varietà Riemanniane e subRiemanniane non compatte, quali spazi iperbolici e spazi simmetrici, e su gruppi di Lie non compatti. In particolare, si introducono spazi di Sobolev e di Besov associati a tali operatori differenziali e se ne indagano le proprietà. Questi spazi funzionali giocano un ruolo nello studio di risultati di buona positura per equazioni differenziali non lineari associate ai suddetti Laplaciani e subLaplaciani.
Un altro campo di ricerca particolarmente attivo riguarda lo studio di operatori integrali singolari e operatori integrali di Fourier su varietà Riemanniane e subRiemanniane e gruppi di Lie non compatti. In particolare, rivestono primaria importanza le trasformate di Riesz, i moltiplicatori spettrali di Laplaciani e subLaplaciani e gli operatori integrali di Fourier. Le tecniche utilizzate in ambito euclideo non si applicano in tali contesti e si rende necessaria l'introduzione di nuovi spazi di funzioni, come ad esempio spazi di Hardy adattati alla geometria della varietà e del gruppo, per studiare le proprietà di limitatezza dei suddetti operatori.
Operatori integrali singolari e integrali di Fourier su varietà trovano applicazioni nello studio di equazioni differenziali in contesti geometrici, come l'equazione delle onde guidata da un Laplaciano o un subLaplaciano. La quantificazione della perdita ottimale di derivate nelle stime Lp per il propagatore delle onde subRiemanniano è un problema di particolare rilievo in quest'area, intimamente collegato ad altri problemi fondamentali di analisi armonica geometrica, come la determinazione delle soglie ottimali di regolarità per la limitatezza Lp di moltiplicatori spettrali e medie di Bochner-Riesz associate a subLaplaciani. L’investigazione di questi problemi vede una forte interazione di tecniche analitiche e geometriche, fra cui lo studio delle proprietà del flusso geodetico subRiemanniano e di stime per autovalori e autofunzioni di operatori di Schrödinger.